Sezione Aurea

La sezione aurea, in matematica e in arte, è una proporzione geometrica basata su di un rapporto specifico, nel quale la parte maggiore sta alla minore come l’intera sta alla parte maggiore. Questo numero, o questa proporzione geometrica definita anche “proporzione aurea”, “numero aureo”, “rapporto aureo”, “sezione aurea”, “divina proporzione” sembra possa rappresentare lo standard di riferimento per quanto riguarda la perfezione, la grazia e l’armonia sia in architettura, scultura e pittura, sia nella stessa Natura. Per questo motivo si può affermare che essa sia un paradigma, in quanto modello, prototipo dal quale possono derivare moltepici forme che abbracciano vari settori del piano ontologico. Un pò come affermava Ernesto Rogers in "Dal cucchiao alla città", essa si ritrova tanto nell'oggetto più comune e quotidiano, quanto nell'ambito più complesso con chi l'uomo interagisce. Si può, quindi, affermare la sua accezione polisemica e sinsemantica, la sezione aurea è portatrice di più significati che si sviluppano coerentemente in tutte le sue declinazioni. Ha però solitamente due contenuti, uno quantitativo ed uno estetico, perché pur essendo definita matematicamente le viene attribuita la capacità, se applicata ad oggetti che colpiscono i sensi, di renderli piacevolmente belli ed armoniosi. Nell’antichità molti problemi geometrici ed algebrici venivano risolti graficamente, anzi alcuni problemi venivano risolti solo per via grafica utilizzando riga e compasso. In particolare, la soluzione grafica della sezione aurea interessò molto i matematici greci, perché la costruzione dei cinque solidi regolari, conosciuti come solidi platonici richiedeva la conoscenza della sezione aurea. Da un quadrato di lato unitario è possibile ottenere graficamente, con un procedimento simile a quello adottato per ottenere i rettangoli aurei, dei rettangoli i cui lati sono due numeri consecutivi della serie di Fibonacci. La spirale che si ottiene è costituita da archi di circonferenza di raggio Ri=Fi e tale spirale tende verso la spirale aurea.

Nel Timeo Platone affronta la questione delle origini e del funzionamento del cosmo. In tale contesto egli avanza l’ipotesi che la struttura della materia si fondi sui cinque solidi regolari (o poliedri). I cinque solidi platonici sono contraddistinti dalle seguenti proprietà: sono gli unici solidi le cui facce sono tutte equilatere e uguali tra loro; ciascun solido è circoscrivibile da una sfera (in modo che tutti i suoi vertici si trovino sulla superficie di quest’ultima). I solidi platonici sono: il tetraedro, con quattro facce triangolari; il cubo, con sei facce quadrate; l’ottaedro, con otto facce triangolari; il dodecaedro, con dodici facce pentagonali; e l’icosaedro, con venti facce triangolari. Il rapporto aureo occupa una posizione importante nelle dimensioni e nella simmetria di alcuni solidi platonici. In particolare un dodecaedro con lato unitario ha una superficie complessiva la cui area è pari a 15j 3 -j e un volume uguale a 5j3 /(6 - 2j) . In modo simile, un icosaedro di lato unitario ha un volume uguale a 5j5 / 6 . Altri particolari legami si possono individuare tra questi due solidi e il rettangolo aureo. Tre rettangoli aurei uguali che si intersecano ortogonalmente formano 12 vertici. Questi 12 vertici possono sono essere uniti tra loro per formare i 12 vertici di ciascuno dei 20 triangoli di un icosaedro. Ma ciascuno dei 12 vertici può essere considerato il centro di ciascuna delle 12 facce pentagonali che costituiscono un dodecaedro.

Un grande architetto del XX secolo, che collegandosi ad una concezione antropomorfa sempre viva in architettura a partire da Vitruvio, introdusse la sezione aurea nel design architettonico fu Le Corbusier ( 1887-1965), che pubblicò nel 1948 e 1955 due trattati (Le Modulor, Le Modulor II), in cui cercava di stabilire dei criteri architettonici sulla base che la natura è matematica. In tale trattato, nel definire le proporzioni e le dimensioni standard di un corpo umano utilizzò la Sezione Aurea e i numeri di Fibonacci, perché “ .. on a démontré, at principalament à la Renaissence, que le corp humain obéit à la règle d’or”.

“Il Modulor è uno strumento di misura nato dalla statura umana e dalla matematica. Un uomo con il braccio alzato fornisce nei punti determinanti dell’occupazione dello spazio, il piede, il plesso solare, la testa, l’estremità delle dita, essendo il braccio alzato, tre intervalli che generano una sere di sezioni auree dette di Fibonacci. D’altra parte, la matematica offre la variazione più semplice e nello stesso tempo più significativa di un valore: il semplice, il doppio, le due sezioni auree.” Le Corbusier, Il Modulor, 1949

Il secondo congresso internazionale di architettura moderna (CIAM II), tenutosi nella città di Francoforte nel 1929, attorno al tema dell’Existenzminimum, coronerà, segnandone al contempo il culmine, l'intenso periodo di sperimentazioni edilizie in suolo tedesco nell'ambito della definizione degli standard minimi per l'abitazione. Un simile interesse per l'alloggio minimo e per la sua standardizzazione permeerà, a partire da quel periodo e per molti anni a venire, anche tanti progetti Le Corbusier. Membro fondatore dei CIAM tenterà a più riprese di definire le caratteristiche degli spazi abitativi minimi – come negli studi che hanno condotto all’Unité d’habitation. Ma l’opera forse più significativa in tal senso risale ai più tardi anni ’50: si tratta del Cabanon. Quello che Le Corbusier chiamava “château sur la Côte d’Azur” è in realtà un piccolo monolocale di 3,66x3,66 metri, alto 2,26, perfettamente fedele alle proporzioni del Modulor e contenente al suo interno una zona giorno, un posto letto, un locale wc e uno spazio per la toletta: un eccellente esempio di alloggio minimo!

La serie rossa ascendente si ottiene moltiplicando la misura 1.13 per il numero aureo 1,618…

La serie blu ascendente moltiplicando 2.26 per il numero aureo 1,618
n. cm. m.
1 113 1.13
2 182.837840729 1.82837840729
3 295.837840729 2.95837840729
4 478.675681457 4.78675681457
5 774.513522186 7.74513522186

n. cm. m.
1 226 2.26
2 365.675681457 3.65675681457
3 591.6756681457 5.916756681457
4 957.351362915 9.57351362915
5 1549.027044327 15.49027044327

Alcuni numeri appartenenti alla serie rossa determinano l’asse delle campate in ville Savoye.

Il Modulor con i relativi rettangoli aurei a confronto con la facciata nord della Villa di Garches

L'applicazione di tali schemi geometrici è riscontrabile anche negli oggetti di Design dei grandi architetti. Come la Sedia Red & Blue progettata da Gerrut Thomas Rietveld che doveva rappresentare simbolicamente un prototipo dell'arte delle macchine, presentare le caratteristiche di un oggetto standardizzato che manifestasse "il bisogno di numeri e misure, di pulizia e di ordine, di standardizzazione e ripetizione, di perfezione e finitura di alta qualità...". Anche la Sedia Tulip di Eero Saarinen può essere racchiusa in uno schema geometrico; essa fu ideata nel 1940. Il design della sedia scaturisce dalla ricerca|contest “design in home furnishing collection” [design organico per l’arredamento d’interni] organizzato dal MOMA di New York, e fu così chiamata per la sua forma che ricorda un tulipano, e che riprende dal tavolo la carettistica gamba a calice. La Chaise Brno di Mies Van der Rohe è un ulteriore esempio di quanto già detto; essa fu appositamente realizzata dall' architetto per la sua dimora di Tugendhat a Brno , da cui prende ovviamente il nome. Esistono 2 versioni della Chaise Brno: la prima (quella originale) è in tubolare d'acciaio, la seconda invece è in barra d'acciaio piatto. Anche Ettore Sottsass nella progettazione della Libreria Casablanca prende parte dalla costruzione geometrica e dalla sezione aurea.

Nel campo delle arti pittoriche, agli inizi del secolo scorso, molti pittori appartenenti al cubismo parteciparono alla mostra sulla Section d’Or, e la sezione aurea fu utilizzata per meglio scomporre le figure mediante poliedri. Il pittore italiano Gino Severini ( 1883-1966) utilizzò nelle sue opere la sezione aurea e cercò di fondere alcuni principi del cubismo con quello del futurismo.

Nel 2003 un gruppo di pittori americani si sono basati solo sui rettangoli aurei per la realizzazione delle loro opere, che vengono indicate come Sacred Geometry.

Durante il Corso di Composizione I ci è stata richiesta la progettazione di una "casa minina" ispirata a "Le Cabanon" di Le Corbusier e, riguardandola, ho pensato di riproporzionare la pianta in base alla sezione aurea. Il risultato ottenuto è la proposta di un piccolo spazio funzionale, in cui la grandezza degli ambienti è rappresentata dai quadrati della costruzione del rettangolo aureo. L'unica stanza esterna e il collegamento di questa con lo spazio principale sono dimensionati sui medesimi quadrati.

Importante citare anche il motivo della spirale logaritmica che è stato sempre presente nell’arte. Recentemente il tema è stato ripreso nelle opere di Mario Merz.

Interessante il fatto che un intero progetto architettonico per la California Polytechnic State University, sia stato basato geometricamente su una spirale logaritmica. I lavori per l’area Engineering IV dell’università sono stati svolti a partire dal 2005 dall’architetto Jeffery Gordon Smith. I designer hanno spiegato di aver selezionato la spirale logaritmica “as representation of engineering knowledge”.

Links di riferimento testo ed immagini:
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica-DeFusco.pdf
http://shared.damianomilani.com/sezione%20aurea/La%20sezione%20aurea.pdf
http://dsg.uniroma1.it/monti/ar-tetcss/testi/Appunti%20sulla%20Sezione%20Aurea.pdf
http://www.pasquali.org/%5Cdispense%5CLa%20sezione%20aurea_new.pdf
http://www.ingegraf.es/pdf/titulos/COMUNICACIONES%20ACEPTADAS/G8.pdf
http://fds.mate.polimi.it/file/1/File/Montevarchi/Presentazione_II.pdf
ftp://pc30.architettura.unirc.it/Arena%20Marinella/DISEGNO%20ARCHITETTURA%202009-10/Lezioni/A%20A%20lezioni%20gornaliere/
http://www.google.it/imgres?q=california+polytechnic+engineering+plaza&um=1&hl=it&sa=N&biw=1366&bih=598&tbm=isch&tbnid=SMADMRiDJFx2LM:&imgrefurl=http://harmonyandhome.blogspot.com/2008/12/golden-mean-and-modern-design.html&docid=J8m9iTAXwiVpcM&imgurl=http://ceng.calpoly.edu/media/images/plaza/PlazaFinal.jpg&w=720&h=542&ei=mxLUTuG7JJCd8gOnt6i1Cg&zoom=1&iact=hc&vpx=306&vpy=141&dur=14&hovh=195&hovw=259&tx=140&ty=116&sig=114794959079337224680&page=1&tbnh=118&tbnw=151&start=0&ndsp=21&ved=1t:429,r:1,s:0
http://www.google.it/imgres?q=california+polytechnic+engineering+plaza&um=1&hl=it&sa=N&biw=1366&bih=598&tbm=isch&tbnid=q6T_CExqbW50qM:&imgrefurl=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibInArt.html&docid=S-suWxo9Av18cM&imgurl=http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/calpolyplaza.jpg&w=398&h=368&ei=mxLUTuG7JJCd8gOnt6i1Cg&zoom=1&iact=rc&dur=308&sig=114794959079337224680&page=1&tbnh=118&tbnw=128&start=0&ndsp=21&ved=1t:429,r:0,s:0&tx=81&ty=32
http://www.saluzzo.org/public/prodotti.asp?IDVetrina=36&IDProdotto=47
http://3d-in-2d.com/wp-content/uploads/2010/04/sezione-aurea-bis.jpg
http://www.laterizio.it/costruire/_pdf/n136/136_72.pdf
http://www.classicdesign.it/productDetails_lng-0-product-48-category-9-Sedia%20Tulip%20Saarinen%20Tavoli.html
http://www.classicdesign.it/productDetails_lng-0-product-31-category-4-Sedia%20Brno%20Chaise%20Longue.html
http://elisacicconedesign.blogspot.com/2011/11/em-dal-cucchiaio-alla-citta.html